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为何从零开始?

有许多深度学习库(Keras、TensorFlow和PyTorch等)可仅用几行代码构建一个神经网络。然而，如果你真想了解神经网络的底层运作，建议学习如何使用Python或任何其他编程语言从零开始为神经网络编程。

不妨创建某个随机数据集：

图1. 为简单起见，随机数据集带二进制值

上面表格有五列：Person、X1、X2、X3和Y。1表示true，0表示false。我们的任务是创建一个能够基于X1、X2和X3的值来预测Y值的人工神经网络。

我们将创建一个有1个输入层、1个输出层而没有隐藏层的人工神经网络。开始编程前，先不妨看看我们的神经网络在理论上将如何执行：

ANN理论

人工神经网络是一种监督式学习算法，这意味着我们为它提供含有自变量的输入数据和含有因变量的输出数据。比如在该示例中，自变量是X1、X2和X3，因变量是Y。

首先，ANN进行一些随机预测，将这些预测与正确的输出进行比较，计算出误差(预测值与实际值之间的差)。找出实际值与传播值之间的差异的函数名为成本函数(cost function)。这里的成本指误差。我们的目标是使成本函数最小化。训练神经网络基本上是指使成本函数最小化。下面会介绍如何执行此任务。

神经网络分两个阶段执行：前馈阶段和反向传播阶段。下面详细介绍这两个步骤。

前馈

图2

来源：单层神经网络，又叫Perceptron

在ANN的前馈阶段，基于输入节点中的值和权重进行预测。如果看一下上图中的神经网络，会看到数据集中有三个特征：X1、X2和X3，因此第一层(又叫输入层)中有三个节点。

神经网络的权重基本上是我们要调整的字符串，以便能够正确预测输出。请记住，每个输入特性只有一个权重。

以下是在ANN的前馈阶段所执行的步骤：

第1步：计算输入和权重之间的点积

输入层中的节点通过三个权重参数与输出层连接。在输出层中，输入节点中的值与对应的权重相乘并相加。最后，偏置项b添加到总和。

为什么需要偏置项?

假设某个人有输入值(0,0,0)，输入节点和权重的乘积之和将为零。在这种情况下，无论我们怎么训练算法，输出都将始终为零。因此，为了能够做出预测，即使我们没有关于该人的任何非零信息，也需要一个偏置项。偏置项对于构建稳健的神经网络而言必不可少。

数学上，点积的总和：

X.W=x1.w1 + x2.w2 + x3.w3 + b

第2步：通过激活函数传递点积(X.W)的总和

点积XW可以生成任何一组值。然而在我们的输出中，我们有1和0形式的值。我们希望输出有同样的格式。为此，我们需要一个激活函数(Activation Function)，它将输入值限制在0到1之间。因此，我们当然会使用Sigmoid激活函数。

图3. Sigmoid激活函数

输入为0时，Sigmoid函数返回0.5。如果输入是大正数，返回接近1的值。负输入的情况下，Sigmoid函数输出的值接近零。

因此，它特别适用于我们要预测概率作为输出的模型。由于概念只存在于0到1之间，Sigmoid函数是适合我们这个问题的选择。

上图中z是点积X.W的总和。

数学上，Sigmoid激活函数是：

图4. Sigmoid激活函数

总结一下到目前为止所做的工作。首先，我们要找到带权重的输入特征(自变量矩阵)的点积。接着，通过激活函数传递点积的总和。激活函数的结果基本上是输入特征的预测输出。

反向传播

一开始，进行任何训练之前，神经网络进行随机预测，这种预测当然是不正确的。

我们先让网络做出随机输出预测。然后，我们将神经网络的预测输出与实际输出进行比较。接下来，我们更新权重和偏置，并确保预测输出更接近实际输出。在这个阶段，我们训练算法。不妨看一下反向传播阶段涉及的步骤。

第1步：计算成本

此阶段的第一步是找到预测成本。可以通过找到预测输出值和实际输出值之间的差来计算预测成本。如果差很大，成本也将很大。

我们将使用均方误差即MSE成本函数。成本函数是找到给定输出预测成本的函数。

图5. 均方误差

这里，Yi是实际输出值，Ŷi是预测输出值，n是观察次数。

第2步：使成本最小化

我们的最终目的是微调神经网络的权重，并使成本最小化。如果你观察仔细，会了解到我们只能控制权重和偏置，其他一切不在控制范围之内。我们无法控制输入，无法控制点积，无法操纵Sigmoid函数。

为了使成本最小化，我们需要找到权重和偏置值，确保成本函数返回最小值。成本越小，预测就越正确。

要找到函数的最小值，我们可以使用梯度下降算法。梯度下降可以用数学表示为：

图6. 使用梯度下降更新权重

是成本函数。上面的等式告诉我们找到关于每个权重和偏置的成本函数的偏导数，然后从现有权重中减去结果以得到新的权重。

函数的导数给出了在任何给定点的斜率。为了找到成本是增加还是减少，给定权重值，我们可以找到该特定权重值的函数导数。如果成本随重量增加而增加，导数将返回正值，然后将其从现有值中减去。

另一方面，如果成本随重量增加而降低，将返回负值，该值将被添加到现有的权重值中，因为负负得正。

在上面公式中，a名为学习速率，乘以导数。学习速率决定了我们的算法学习的速度。

我们需要对所有权重和偏置重复执行梯度下降操作，直到成本最小化，并且成本函数返回的值接近零。

现在是实现我们迄今为止研究的人工神经网络的时候了。我们将用Python创建一个简单的神经网络，有1个输入层和1个输出层。

使用numpy实现人工神经网络

图7

图片来源：hackernoon.com

要采取的步骤：

1.定义自变量和因变量

2.定义超参数

3.定义激活函数及其导数

4.训练模型

5.做出预测

第1步：先创建自变量或输入特征集以及相应的因变量或标签。

1. #Independent variables  
2. input_set = np.array([[0,1,0],  
3. [0,0,1],  
4. [1,0,0],  
5. [1,1,0],  
6. [1,1,1],  
7. [0,1,1],  
8. [0,1,0]])#Dependent variable  
9. labels = np.array([[1,  
10. 0,  
11. 0,  
12. 1,  
13. 1,  
14. 0,  
15. 1]])  
16. labels = labels.reshape(7,1) #to convert labels to vector 

我们的输入集含有七个记录。同样，我们还创建了一个标签集，含有输入集中每个记录的对应标签。标签是我们希望ANN预测的值。

第2步：定义超参数。

我们将使用numpy的random.seed函数，以便在执行以下代码时可以获得同样的随机值。

接下来，我们使用正态分布的随机数初始化权重。由于输入中有三个特征，因此我们有三个权重的向量。然后，我们使用另一个随机数初始化偏置值。最后，我们将学习速率设置为0.05。

1. np.random.seed(42)  
2. weights = np.random.rand(3,1)  
3. bias = np.random.rand(1)  
4. lr = 0.05 #learning rate 

第3步：定义激活函数及其导数：我们的激活函数是Sigmoid函数。

1. def sigmoid(x):  
2. return 1/(1+np.exp(-x)) 

现在定义计算Sigmoid函数导数的函数。

1. def sigmoid_derivative(x):  
2. return sigmoid(x)*(1-sigmoid(x)) 

第4步：是时候训练ANN模型了。

我们将从定义轮次(epoch)数量开始。轮次是我们想针对数据集训练算法的次数。我们将针对数据训练算法25000次，因此epoch将为25000。可以尝试不同的数字以进一步降低成本。

1. for epoch in range(25000):  
2. inputs = input_set  
3. XW = np.dot(inputs, weights)+ bias  
4. z = sigmoid(XW)  
5. error = z - labels  
6. print(error.sum())  
7. dcost = error  
8. dpred = sigmoid_derivative(z)  
9. z_del = dcost * dpred  
10. inputs = input_set.T  
11. weights = weights - lr*np.dot(inputs, z_del)  
12. for num in z_del:  
13. bias = bias - lr*num 

不妨了解每个步骤，然后进入到预测的最后一步。

我们将输入input_set中的值存储到input变量中，以便在每次迭代中都保留input_set的值不变。

1. inputs = input_set 

接下来，我们找到输入和权重的点积，并为其添加偏置。(前馈阶段的第1步)

1. XW = np.dot(inputs, weights)+ bias 

接下来，我们通过Sigmoid激活函数传递点积。(前馈阶段的第2步)

1. z = sigmoid(XW) 

这就完成了算法的前馈部分，现在是开始反向传播的时候了。

变量z含有预测的输出。反向传播的第一步是找到误差。

1. error = z - labels  
2. print(error.sum()) 

我们知道成本函数是：

图8

我们需要从每个权重方面求该函数的微分，这可以使用微分链式法则(chain rule of differentiation)来轻松完成。我将跳过推导部分，但如果有人感兴趣，请留言。

因此，就任何权重而言，成本函数的最终导数是：

1. slope = input x dcost x dpred 

现在，斜率可以简化为：

1. dcost = error  
2. dpred = sigmoid_derivative(z) 
3. z_del = dcost * dpred  
4. inputs = input_set.T  
5. weights = weight-lr*np.dot(inputs, z_del) 

我们有z_del变量，含有dcost和dpred的乘积。我们拿输入特征矩阵的转置与z_del相乘，而不是遍历每个记录并拿输入与对应的z_del相乘。

最后，我们将学习速率变量lr与导数相乘，以加快学习速度。

除了更新权重外，我们还要更新偏置项。

1. for num in z_del:  
2. bias = bias - lr*num 

一旦循环开始，你会看到总误差开始减小;训练结束时，误差将保留为很小的值。

1. -0.001415035616137969  
2. -0.0014150128584959256  
3. -0.0014149901015685952  
4. -0.0014149673453557714  
5. -0.0014149445898578358  
6. -0.00141492183507419  
7. -0.0014148990810050437  
8. -0.0014148763276499686  
9. -0.0014148535750089977  
10. -0.0014148308230825385  
11. -0.0014148080718707524  
12. -0.0014147853213728624  
13. -0.0014147625715897338  
14. -0.0014147398225201734  
15. -0.0014147170741648386  
16. -0.001414694326523502  
17. -0.001414671579597255  
18. -0.0014146488333842064  
19. -0.0014146260878853782  
20. -0.0014146033431002465  
21. -0.001414580599029179  
22. -0.0014145578556723406  
23. -0.0014145351130293877  
24. -0.0014145123710998  
25. -0.0014144896298846701  
26. -0.0014144668893831067  
27. -0.001414444149595611  
28. -0.0014144214105213174  
29. -0.0014143986721605849  
30. -0.0014143759345140276  
31. -0.0014143531975805163  
32. -0.001414330461361444  
33. -0.0014143077258557749  
34. -0.0014142849910631708  
35. -0.00141426225698401  
36. -0.0014142395236186895  
37. -0.0014142167909661323  
38. -0.001414194059027955  
39. -0.001414171327803089  
40. -0.001414148597290995  
41. -0.0014141258674925626  
42. -0.0014141031384067547  
43. -0.0014140804100348098  
44. -0.0014140576823759854  
45. -0.0014140349554301636  
46. -0.0014140122291978665  
47. -0.001413989503678362  
48. -0.001413966778871751  
49. -0.001413944054778446  
50. -0.0014139213313983257  
51. -0.0014138986087308195  
52. -0.0014138758867765552  
53. -0.0014138531655347973  
54. -0.001413830445006264  
55. -0.0014138077251906606  
56. -0.001413785006087985  
57. -0.0014137622876977014  
58. -0.0014137395700206355  
59. -0.0014137168530558228  
60. -0.0014136941368045382  
61. -0.0014136714212651114  
62. -0.0014136487064390219  
63. -0.0014136259923249635  
64. -0.001413603278923519  
65. -0.0014135805662344007  
66. -0.0014135578542581566  
67. -0.0014135351429944293  
68. -0.0014135124324428719  
69. -0.0014134897226037203  
70. -0.0014134670134771238  
71. -0.0014134443050626295  
72. -0.0014134215973605428  
73. -0.0014133988903706311 

第5步：作出预测

是时候作出一些预测了。先用[1,0,0]试一下：

1. single_pt = np.array([1,0,0])  
2. result = sigmoid(np.dot(single_pt, weights) + bias)  
3. print(result) 

输出：

1. [0.01031463] 

如你所见，输出更接近0而不是1，因此分类为0。

不妨再用[0,1,0]试一下：

1. single_pt = np.array([0,1,0])  
2. result = sigmoid(np.dot(single_pt, weights) + bias)  
3. print(result)   

输出：

1. [0.99440207] 

如你所见，输出更接近1而不是0，因此分类为1。

结论

我们在本文中学习了如何使用numpy Python库，从零开始创建一个很简单的人工神经网络，只有1个输入层和1个输出层。该ANN能够对线性可分离数据进行分类。

如果我们有非线性可分离的数据，我们的ANN就无法对这种类型的数据进行分类。下篇将介绍如何构建这样的ANN。

原文标题：Build an Artificial Neural Network From Scratch: Part 1，作者：Nagesh Singh Chauhan