1、从二分类评估指标说起

1.1 混淆矩阵

我们首先来看一下混淆矩阵，对于二分类问题，真实的样本标签有两类，我们学习器预测的类别有两类，那么根据二者的类别组合可以划分为四组，如下表所示：

上表即为混淆矩阵，其中，行表示预测的 label 值，列表示真实 label 值。TP，FP，FN，TN 分别表示如下意思：

TP（true positive）：表示样本的真实类别为正，最后预测得到的结果也为正；
FP（false positive）：表示样本的真实类别为负，最后预测得到的结果却为正；
FN（false negative）：表示样本的真实类别为正，最后预测得到的结果却为负；
TN（true negative）：表示样本的真实类别为负，最后预测得到的结果也为负.

可以看到，TP 和 TN 是我们预测准确的样本，而 FP 和 FN 为我们预测错误的样本。

1.2 准确率 Accruacy

准确率表示的是分类正确的样本数占样本总数的比例，假设我们预测了 10 条样本，有 8 条的预测正确，那么准确率即为 80%。

用混淆矩阵计算的话，准确率可以表示为：

虽然准确率可以在一定程度上评价我们的分类器的性能，不过对于二分类问题或者说 CTR 预估问题，样本是极其不平衡的。对于大数据集来说，标签为 1 的正样本数据往往不足 10%，那么如果分类器将所有样本判别为负样本，那么仍然可以达到 90% 以上的分类准确率，但这个分类器的性能显然是非常差的。

1.3 精确率 Precision 和召回率 Recall

为了衡量分类器对正样本的预测能力，我们引入了精确率 Precision 和召回率 Recall。

精确率表示预测结果中，预测为正样本的样本中，正确预测为正样本的概率；
召回率表示在原始样本的正样本中，最后被正确预测为正样本的概率；

二者用混淆矩阵计算如下：

精确率和召回率往往是一对矛盾的指标。在 CTR 预估问题中，预测结果往往表示会被点击的概率。如果我们对所有的预测结果进行降序排序，排在前面的是学习器认为最可能被点击的样本，排在后面的是学习期认为最不可能被点击的样本。

如果我们设定一个阈值，在这个阈值之上的学习器认为是正样本，阈值之下的学习器认为是负样本。可以想象到的是，当阈值很高时，预测为正样本的是分类器最有把握的一批样本，此时精确率往往很高，但是召回率一般较低。相反，当阈值很低时，分类器把很多拿不准的样本都预测为了正样本，此时召回率很高，但是精确率却往往偏低。

1.4 F-1 Score

为了折中精确率和召回率的结果，我们又引入了 F-1 Score，计算公式如下：

对于 F1 Score 有很多的变化形式，感兴趣的话大家可以参考一下周志华老师的西瓜书，我们这里就不再介绍了。

1.5 ROC 与 AUC

在许多分类学习器中，产生的是一个概率预测值，然后将这个概率预测值与一个提前设定好的分类阈值进行比较，大于该阈值则认为是正例，小于该阈值则认为是负例。如果对所有的排序结果按照概率值进行降序排序，那么阈值可以将结果截断为两部分，前面的认为是正例，后面的认为是负例。

我们可以根据实际任务的需要选取不同的阈值。如果重视精确率，我们可以设定一个很高的阈值，如果更重视召回率，可以设定一个很低的阈值。

到这里，我们会抛出两个问题：
1) 设定阈值然后再来计算精确率，召回率和 F1-Score 太麻烦了，这个阈值到底该设定为多少呢？有没有可以不设定阈值来直接评价我们的模型性能的方法呢？

2) 排序结果很重要呀，不管预测值是多少，只要正例的预测概率都大于负例的就好了呀。

没错，ROC 和 AUC 便可以解决我们上面抛出的两个问题。

ROC 全称是“受试者工作特征”，（receiver operating characteristic）。我们根据学习器的预测结果进行排序，然后按此顺序逐个把样本作为正例进行预测，每次计算出两个重要的值，分别以这两个值作为横纵坐标作图，就得到了 ROC 曲线。

这两个指标是什么呢？是精确率和召回率么？并不是的，哈哈。

ROC 曲线的横轴为“假正例率”（True Positive Rate,TPR)，又称为“假阳率”；纵轴为“真正例率”(False Positive Rate,FPR)，又称为“真阳率”，

假阳率，简单通俗来理解就是预测为正样本但是预测错了的可能性，显然，我们不希望该指标太高。

真阳率，则是代表预测为正样本但是预测对了的可能性，当然，我们希望真阳率越高越好。

ROC 计算过程如下：
1) 首先每个样本都需要有一个 label 值，并且还需要一个预测的 score 值（取值 0 到 1）;
2) 然后按这个 score 对样本由大到小进行排序，假设这些数据位于表格中的一列，从上到下依次降序;
3) 现在从上到下按照样本点的取值进行划分，位于分界点上面的我们把它归为预测为正样本，位于分界点下面的归为负样本;
4) 分别计算出此时的 TPR 和 FPR，然后在图中绘制（FPR, TPR）点。

说这么多，不如直接看图来的简单：

AUC（area under the curve）就是 ROC 曲线下方的面积，如下图所示，阴影部分面积即为 AUC 的值：

AUC 量化了 ROC 曲线表达的分类能力。这种分类能力是与概率、阈值紧密相关的，分类能力越好（AUC 越大），那么输出概率越合理，排序的结果越合理。

在 CTR 预估中，我们不仅希望分类器给出是否点击的分类信息，更需要分类器给出准确的概率值，作为排序的依据。所以，这里的 AUC 就直观地反映了 CTR 的准确性（也就是 CTR 的排序能力）。

终于介绍完了，那么这个值该怎么计算呢？

2、AUC 的计算

关于 AUC 的计算方法，如果仅仅根据上面的描述，我们可能只能想到一种方法，那就是积分法，我们先来介绍这种方法，然后再来介绍其他的方法。

2.1 积分思维

这里的积分法其实就是我们之前介绍的绘制 ROC 曲线的过程，用代码简单描述下：

auc = 0.0
height = 0.0

for each training example x_i, y_i：
  if y_i = 1.0:
    height = height + 1/(tp+fn)
  else 
    auc +=  height * 1/(tn+fp)

return auc

在上面的计算过程中，我们计算面积过程中隐含着一个假定，即所有样本的预测概率值不想等，因此我们的面积可以由一个个小小的矩形拼起来。但如果有两个或多个的预测值相同，我们调整一下阈值，得到的不是往上或者往右的延展，而是斜着向上形成一个梯形，此时计算梯形的面积就比较麻烦，因此这种方法其实并不是很常用。

2.2 Wilcoxon-Mann-Witney Test

关于 AUC 还有一个很有趣的性质，它和 Wilcoxon-Mann-Witney 是等价的，而 Wilcoxon-Mann-Witney Test 就是测试任意给一个正类样本和一个负类样本，正类样本的 score 有多大的概率大于负类样本的 score。

根据这个定义我们可以来探讨一下二者为什么是等价的？首先我们偷换一下概念，其实意思还是一样的，任意给定一个负样本，所有正样本的 score 中有多大比例是大于该负类样本的 score？由于每个负类样本的选中概率相同，那么 Wilcoxon-Mann-Witney Test 其实就是上面 n2（负样本的个数）个比例的平均值。

那么对每个负样本来说，有多少的正样本的 score 比它的 score 大呢？是不是就是当结果按照 score 排序，阈值恰好为该负样本 score 时的真正例率 TPR？没错，相信你的眼睛，是这样的！理解到这一层，二者等价的关系也就豁然开朗了。ROC 曲线下的面积或者说 AUC 的值与测试任意给一个正类样本和一个负类样本，正类样本的 score 有多大的概率大于负类样本的 score

哈哈，那么我们只要计算出这个概率值就好了呀。我们知道，在有限样本中我们常用的得到概率的办法就是通过频率来估计之。这种估计随着样本规模的扩大而逐渐逼近真实值。样本数越多，计算的 AUC 越准确类似，也和计算积分的时候，小区间划分的越细，计算的越准确是同样的道理。具体来说就是：统计一下所有的 M×N(M 为正类样本的数目，N 为负类样本的数目) 个正负样本对中，有多少个组中的正样本的 score 大于负样本的 score。当二元组中正负样本的 score 相等的时候，按照 0.5 计算。然后除以 MN。公式表示如下：

实现这个方法的复杂度为 O(n^2)。n 为样本数 (即 n=M+N)

2.3 Wilcoxon-Mann-Witney Test 的化简

该方法和上述第二种方法原理一样，但复杂度降低了。首先对 score 从大到小排序，然后令最大 score 对应的 sample 的 rank 值为 n，第二大 score 对应 sample 的 rank 值为 n-1，以此类推从 n 到 1。然后把所有的正类样本的 rank 相加，再减去正类样本的 score 为最小的那 M 个值的情况。得到的结果就是有多少对正类样本的 score 值大于负类样本的 score 值，最后再除以 M×N 即可。值得注意的是，当存在 score 相等的时候，对于 score 相等的样本，需要赋予相同的 rank 值 (无论这个相等的 score 是出现在同类样本还是不同类的样本之间，都需要这样处理)。具体操作就是再把所有这些 score 相等的样本的 rank 取平均。然后再使用上述公式。此公式描述如下：

有了这个公式，我们计算 AUC 就非常简单了，下一节我们会给出一个简单的 Demo

3、AUC 计算代码示例

这一节，我们给出一个 AUC 计算的小 Demo，供大家参考：

import numpy as np

label_all = np.random.randint(0,2,[10,1]).tolist()
pred_all = np.random.random((10,1)).tolist()

print(label_all)
print(pred_all)

posNum = len(list(filter(lambda s: s[0] == 1, label_all)))

if (posNum > 0):
    negNum = len(label_all) - posNum
    sortedq = sorted(enumerate(pred_all), key=lambda x: x[1])

    posRankSum = 0
    for j in range(len(pred_all)):
        if (label_all[j][0] == 1):
            posRankSum += list(map(lambda x: x[0], sortedq)).index(j) + 1
    auc = (posRankSum - posNum * (posNum + 1) / 2) / (posNum * negNum)
    print("auc:", auc)

输出为：

[[1], [1], [1], [1], [0], [0], [1], [0], [1], [0]]
[[0.3338126725065774], [0.916003907444231], [0.21214487870979226], [0.7598235037160891], [0.07060830328081447], [0.7650759555141832], [0.16157972737309945], [0.6526480840746645], [0.9327233203035652], [0.6581121768195201]]

auc: 0.5833333333333334

参考文献：

https://www.jianshu.com/p/848838ecbc2d
https://blog.csdn.net/dream_angel_z/article/details/50867951
https://www.zhihu.com/question/39840928
https://stats.stackexchange.com/questions/105501/understanding-roc-curve/105577
http://www.cnblogs.com/peizhe123/p/5081559.html
http://blog.revolutionanalytics.com/2017/03/auc-meets-u-stat.html