CNN--两个Loss层计算的数值问题

写在前面，这篇文章的原创性比较差，因为里面聊的已经是老生长谈的事情，但是为了保持对CNN问题的完整性，还是把它单独拿出来写一篇了。已经知道的童鞋可以忽略，没看过的童鞋可以来瞧瞧。

这次我们来聊一聊在计算Loss部分是可能出现的一些小问题以及现在的解决方法。其实也是仔细阅读下Caffe代码中有关Softmax loss和sigmoid cross entropy loss两个部分的真实计算方法。

Softmax

有关Softmax的起源以及深层含义这里不多说了，我们直接来看看从定义出发的计算方法：

def naive_softmax(x):     y = np.exp(x)     return y / np.sum(y)

随便生成一组数据，计算一下：

a = np.random.rand(10) print a print naive_softmax(a)  [ 0.67362493  0.20352691  0.02024274  0.29988184  0.2319521              0.43930833  0.98219225  0.54569955  0.00298489  0.83399241] [ 0.12203807  0.07626659  0.06349434  0.08398094  0.07846559      0.09654569  0.16615155  0.10738362  0.06240797  0.14326563]

从结果来看比较正常，符合预期，但是如果我们的输入不那么正常呢？

b = np.random.rand(10) * 1000 print b print naive_softmax(b)  [ 497.46732916  227.75385779  537.82669096  787.54950048  663.13861524   224.69389572  958.39441314  139.09633232  381.35034548  604.08586655] [  0.   0.   0.  nan   0.   0.  nan   0.   0.   0.]

我们发现数值溢出了，因为指数函数是一个很容易让数值爆炸的函数，那么输入大概到多少会溢出呢？蛋疼的我还是做了一个实验：

np.exp(709) 8.2184074615549724e+307

这是在python能够正常输出的单一数字的极限了。实际上这接近double类型的数值极限了。

虽然我们前面讲过有一些方法可以控制住数字，使输出不会那么大，但是终究难免会有个别大数字使得计算溢出。而且实际场景中计算softmax的向量维度可能会比较大，大家累积起来的数字有时还是挺吓人的。

那么如何解决呢？我们只要给每个数字除以一个大数，保证它不溢出，问题不就解决了？老司机给出的方案是找出输入数据中最大的数，然后除以e的最大数次幂，相当于下面的代码：

def high_level_softmax(x):     max_val = np.max(x)     x -= max_val     return naive_softmax(x)

这样一来，之前的问题就解决了，数值不再溢出了。

b = np.random.rand(10) * 1000 print b print high_level_softmax(b)  [ 903.27437996  260.68316085   22.31677464  544.80611744  506.26848644   698.38019158  833.72024087  200.55675076  924.07740602  909.39841128]  [  9.23337324e-010   7.79004225e-289   0.00000000e+000       1.92562645e-165   3.53094986e-182   9.57072864e-099       5.73299537e-040   6.01134555e-315   9.99999577e-001       4.21690097e-007]

虽然不溢出了，但是这个结果看着还是有点怪。上面的例子中最大的数字924.07740602的结果高达0.99999，而其他一众数字经过softmax之后都小的可怜，小到我们用肉眼无法从坐标轴上把它们区分出来，这说明softmax的最终结果和scale有很大的关系。

为了让这些小的可怜的数字不那么可怜，使用一点平滑的小技巧还是很有必要的，于是代码又变成：

def practical_softmax(x):     max_val = np.max(x)     x -= max_val     y = np.exp(x)     y[y < 1e-20] = 1e-20     return y / np.sum(y)

结果变成了：

[  9.23337325e-10   9.99999577e-21   9.99999577e-21   9.99999577e-21    9.99999577e-21   9.99999577e-21   9.99999577e-21   9.99999577e-21    9.99999577e-01   4.21690096e-07]

看上去比上面的还是要好一些，虽然不能扭转一家独大的局面。