神经网络-全连接层（1）

接下来聊一聊现在大热的神经网络。最近这几年深度学习发展十分迅速，感觉已经占据了整个机器学习的“半壁江山”。各大会议也是被深度学习占据，引领了一波潮流。深度学习中目前最火热的两大类是卷积神经网络（CNN）和递归神经网络（RNN），就从这两个模型开始聊起。

当然，这两个模型所涉及到概念内容实在太多，要写的东西也比较多，所以为了能把事情讲得更清楚，这里从一些基本概念聊起，大神们不要觉得无聊啊……

今天扯的是全连接层，也是神经网络中的重要组成部分。关于神经网络是怎么发明出来的这里就不说了。全连接层一般由两个部分组成，为了后面的公式能够更加清楚的表述，以下的变量名中上标表示所在的层，下标表示一个向量或矩阵内的行列号：

线性部分：主要做线性转换，输入用X表示，输出用Z表示
非线性部分：那当然是做非线性变换了，输入用线性部分的输出Z表示，输出用X表示。

线性部分

线性部分的运算方法基本上就是线性加权求和的感觉，如果对于一个输入向量 $x=[x_0,x_1,...x_n]^T$ ，线性部分的输出向量是 $z=[z_0,z_1,z_2,...z_m]^T$ ，那么线性部分的参数就可以想象一个m*n的矩阵W，再加上一个偏置项 $b=[b_0,...b_m]^T$ ，于是有：

$W*x+b=z$

线性部分做了什么事情呢？简单来说就是对输入数据做不同角度的分析，得出该角度下对整体输入数据的判断。

这么说有点抽象，举一个实际点的例子，就拿CNN的入门case——MNIST举例。MNIST的例子在此不多说了，它是一个手写数字的识别项目，输入是一张28*28的二值图，输出是0-9这是个数字，这里假设我们采用完全全连接的模型，那么我们的输入就是28*28=784个像素点。数据显示到屏幕上大概是这个样子：

MNIST

对于我们来说，这个像素点都太过于抽象了，我们无法判断这些像素点的取值和最终识别的关系:

他们是正相关还是负相关？

很显然，像素点之间是存在相关关系的，这个关系具体是什么我们后面再说，但存在关系这件事是板上钉钉的。所以只给每一个像素点一个权重是解决不了问题的，我们需要多组权重。

我们可以

1）在第一组权重中给第一个像素一个正数，第二个也是正数，

2）在第二组权重中给第一个像素负数，而第二个还是正数……

这样，我们相当于从多个角度对输入数据进行分析汇总，得到了多个输出结果，也就是对数据的多种评价。

非线性部分

非线性部分有一些“套路”函数，这里只说下其中的一个经典函数——sigmoid。它的函数形式如下所示：

$f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$

图像如下所示：

非线性部分

这个函数的输入正是我们上一步线性部分的输出z，此时z取值范围在 $(-\infty ,+\infty)$ ，经过了这个函数就变成了 $(0,1)$ 。

那非线性部分为什么要做这个函数转换呢？以我的粗浅理解，其中的一个作用就是作数据的归一化。不管前面的线性部分做了怎样的工作，到了非线性这里，所有的数值将被限制在一个范围内，这样后面的网络层如果要基于前面层的数据继续计算，这个数值就相对可控了。不然如果每一层的数值大小都不一样，有的范围在（0，1），有的在（0，10000），做优化的时候优化步长的设定就会有麻烦。

另外一个作用，就是打破之前的线性映射关系。如果全连接层没有非线性部分，只有线性部分，我们在模型中叠加多层神经网络是没有意义的，我们假设有一个2层全连接神经网络，其中没有非线性层，那么对于第一层有：

$W^0*x^0+b^0=z^1$