1、BPR 算法简介

1.1 基本思路

在 BPR 算法中，我们将任意用户 u 对应的物品进行标记，如果用户 u 在同时有物品 i 和 j 的时候点击了 i，那么我们就得到了一个三元组，它表示对用户 u 来说，i 的排序要比 j 靠前。如果对于用户 u 来说我们有 m 组这样的反馈，那么我们就可以得到 m 组用户 u 对应的训练样本。

这里，我们做出两个假设：

每个用户之间的偏好行为相互独立，即用户 u 在商品 i 和 j 之间的偏好和其他用户无关。
同一用户对不同物品的偏序相互独立，也就是用户 u 在商品 i 和 j 之间的偏好和其他的商品无关。

为了便于表述，我们用 >u 符号表示用户 u 的偏好，上面的可以表示为：i >u j。

在 BPR 中，我们也用到了类似矩阵分解的思想，对于用户集 U 和物品集 I 对应的 U*I 的预测排序矩阵，我们期望得到两个分解后的用户矩阵 W(|U|×k) 和物品矩阵 H(|I|×k)，满足：

那么对于任意一个用户 u，对应的任意一个物品 i，我们预测得出的用户对该物品的偏好计算如下：

而模型的最终目标是寻找合适的矩阵 W 和 H，让 X-(公式打不出来，这里代表的是 X 上面有一个横线，即 W 和 H 矩阵相乘后的结果) 和 X(实际的评分矩阵) 最相似。看到这里，也许你会说，BPR 和矩阵分解没有什区别呀？是的，到目前为止的基本思想是一致的，但是具体的算法运算思路，确实千差万别的，我们慢慢道来。

1.2 算法运算思路

BPR 基于最大后验估计 P(W,H|>u) 来求解模型参数 W,H, 这里我们用θ来表示参数 W 和 H, >u 代表用户 u 对应的所有商品的全序关系, 则优化目标是 P(θ|>u)。根据贝叶斯公式，我们有：

由于我们求解假设了用户的排序和其他用户无关，那么对于任意一个用户 u 来说，P(>u) 对所有的物品一样，所以有：

这个优化目标转化为两部分。第一部分和样本数据集 D 有关，第二部分和样本数据集 D 无关。

第一部分

对于第一部分，由于我们假设每个用户之间的偏好行为相互独立，同一用户对不同物品的偏序相互独立，所以有：

上面的式子类似于极大似然估计，若用户 u 相比于 j 来说更偏向 i，那么我们就希望 P(i >u j|θ) 出现的概率越大越好。

上面的式子可以进一步改写成：

而对于 P(i >u j|θ) 这个概率，我们可以使用下面这个式子来代替:

其中，σ(x) 是 sigmoid 函数，σ里面的项我们可以理解为用户 u 对 i 和 j 偏好程度的差异，我们当然希望 i 和 j 的差异越大越好，这种差异如何体现，最简单的就是差值：

省略θ我们可以将式子简略的写为：

因此优化目标的第一项可以写作：

哇，是不是很简单的思想，对于训练数据中的，用户更偏好于 i，那么我们当然希望在 X- 矩阵中 ui 对应的值比 uj 对应的值大，而且差距越大越好！

第二部分

回想之前我们通过贝叶斯角度解释正则化的文章：https://www.jianshu.com/p/4d562f2c06b8

当θ的先验分布是正态分布时，其实就是给损失函数加入了正则项，因此我们可以假定θ的先验分布是正态分布：

所以：

因此，最终的最大对数后验估计函数可以写作：

剩下的我们就可以通过梯度上升法 (因为是要让上式最大化) 来求解了。我们这里就略过了，BPR 的思想已经很明白了吧，哈哈！让我们来看一看如何实现吧。

2、算法实现

本文的 github 地址为：https://github.com/princewen/tensorflow_practice/tree/master/recommendation/Basic-BPR-Demo

所用到的数据集是 movieslen 100k 的数据集，下载地址为：http://grouplens.org/datasets/movielens/

数据预处理

首先，我们需要处理一下数据，得到每个用户打分过的电影，同时，还需要得到用户的数量和电影的数量。

def load_data():
 user_ratings = defaultdict(set)
 max_u_id = -1
 max_i_id = -1
 with open('data/u.data','r') as f:
 for line in f.readlines():
 u,i,_,_ = line.split("\t")
 u = int(u)
 i = int(i)
 user_ratings[u].add(i)
 max_u_id = max(u,max_u_id)
 max_i_id = max(i,max_i_id)

 print("max_u_id:",max_u_id)
 print("max_i_idL",max_i_id)

 return max_u_id,max_i_id,user_ratings

下面我们会对每一个用户 u，在 user_ratings 中随机找到他评分过的一部电影 i, 保存在 user_ratings_test，后面构造训练集和测试集需要用到。

def generate_test(user_ratings):
 """
 对每一个用户u，在user_ratings中随机找到他评分过的一部电影i,保存在user_ratings_test，我们为每个用户取出的这一个电影，是不会在训练集中训练到的，作为测试集用。
 """
 user_test = dict()
 for u,i_list in user_ratings.items():
 user_test[u] = random.sample(user_ratings[u],1)[0]
 return user_test

构建训练数据
我们构造的训练数据是的三元组，i 可以根据刚才生成的用户评分字典得到，j 可以利用负采样的思想，认为用户没有看过的电影都是负样本：

def generate_train_batch(user_ratings,user_ratings_test,item_count,batch_size=512):
 """
 构造训练用的三元组
 对于随机抽出的用户u，i可以从user_ratings随机抽出，而j也是从总的电影集中随机抽出，当然j必须保证(u,j)不在user_ratings中

 """
 t = []
 for b in range(batch_size):
 u = random.sample(user_ratings.keys(),1)[0]
 i = random.sample(user_ratings[u],1)[0]
 while i==user_ratings_test[u]:
 i = random.sample(user_ratings[u],1)[0]

 j = random.randint(1,item_count)
 while j in user_ratings[u]:
 j = random.randint(1,item_count)

 t.append([u,i,j])

 return np.asarray(t)

构造测试数据

同样构造三元组，我们刚才给每个用户单独抽出了一部电影，这个电影作为 i，而用户所有没有评分过的电影都是负样本 j：

def generate_test_batch(user_ratings,user_ratings_test,item_count):
 """
 对于每个用户u，它的评分电影i是我们在user_ratings_test中随机抽取的，它的j是用户u所有没有评分过的电影集合，
 比如用户u有1000部电影没有评分，那么这里该用户的测试集样本就有1000个
 """
 for u in user_ratings.keys():
 t = []
 i = user_ratings_test[u]
 for j in range(1,item_count + 1):
 if not(j in user_ratings[u]):
 t.append([u,i,j])
 yield np.asarray(t)

模型构建
首先回忆一下我们需要学习的参数θ，其实就是用户矩阵 W(|U|×k) 和物品矩阵 H(|I|×k) 对应的值，对于我们的模型来说，可以简单理解为由 id 到 embedding 的转化，因此有：

u = tf.placeholder(tf.int32,[None])
i = tf.placeholder(tf.int32,[None])
j = tf.placeholder(tf.int32,[None])

user_emb_w = tf.get_variable("user_emb_w", [user_count + 1, hidden_dim],
 initializer=tf.random_normal_initializer(0, 0.1))
item_emb_w = tf.get_variable("item_emb_w", [item_count + 1, hidden_dim],
 initializer=tf.random_normal_initializer(0, 0.1))

u_emb = tf.nn.embedding_lookup(user_emb_w, u)
i_emb = tf.nn.embedding_lookup(item_emb_w, i)
j_emb = tf.nn.embedding_lookup(item_emb_w, j)

回想一下我们要优化的目标，第一部分是 ui 和 uj 对应的预测值的评分之差，再经由 sigmoid 变换得到的 [0,1] 值，我们希望这个值越大越好，对于损失来说，当然是越小越好。因此，计算如下：

x = tf.reduce_sum(tf.multiply(u_emb,(i_emb-j_emb)),1,keep_dims=True)
loss1 = - tf.reduce_mean(tf.log(tf.sigmoid(x)))

第二部分是我们的正则项，参数就是我们的 embedding 值，所以正则项计算如下：

l2_norm = tf.add_n([
        tf.reduce_sum(tf.multiply(u_emb, u_emb)),
        tf.reduce_sum(tf.multiply(i_emb, i_emb)),
        tf.reduce_sum(tf.multiply(j_emb, j_emb))
    ])

因此，我们模型整个的优化目标可以写作：

regulation_rate = 0.0001
bprloss = regulation_rate * l2_norm - tf.reduce_mean(tf.log(tf.sigmoid(x)))

train_op = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.01).minimize(bprloss)

至此，我们整个模型就介绍完了，如果大家想要了解完整的代码实现，可以参考 github 哟。